parte I - Sonofletores em Baixas Frequências  1. Introdução à Análise de Sonofletores Objetivo O cálculo da resposta de caixas acústicas em baixas frequências é um dos campos do Áudio que teve um desenvolvimento bastante recente. Há pouco mais de trinta anos atrás, desconhecia-se uma forma de prever com exatidão a resposta de um sonofletor antes de construí-lo, algo que hoje é matematicamente muito bem definido. Ou seja, com alguns poucos elementos facilmente mensuráveis e que definem o comportamento de um determinado altofalante é possível calcular qual o recinto acústico que deve ser usado (tipo suspensão acústica ou refletor de graves, ou outro), bem como a curva de resposta que será obtida e a eficiência conjunto falante-caixa. Melhor ainda, esse cálculo matemático pode ser corroborado na prática com bastante sucesso. o objetivo deste trabalho é justamente fornecer aos que gostam de "mexer com som" as bases necessárias para estes cálculos e para a construção de caixas acústicas matematicamente corretas, a partir de qualquer falante de boa qualidade. Um Pouco de História Há não muitos anos atrás, a construção de sonofletores constituia-se em uma verdadeira arte. O processo então usado (aliás, que continua a ser empregado ainda hoje), era o da tentativa e erro . Ou seja, para conseguir a resposta de frequência mais extensa possível em graves, utilizavam-se critérios extremamente subjetivos para desenhar um certo tipo de caixa acústica. A partir desse projeto, sem muita base teórica, construiam-se os sonofletores, e no processo de errar e ajustar, exaustivamente trabalhando em constantes modificações e com o uso de diferentes tipos de recintos acústicos, tentava-se obter graves que impressionassem bastante o ouvinte. Conforme se percebe, esse é um tipo de solução desperdiçadora, cara e pouco produtiva. Historicamente, o primeiro tipo de caixa que se usou era simplesmente um recinto hermeticamente fechado, separando as radiações dianteira e traseira do falante. Nesse tipo de recinto acústico, conhecido como "baffle infinito", o que vale é o tamanho, quanto maior melhor. Portanto, para conseguir-se uma resposta a graves extensa, a melhor possibilidade que até então se vislumbrava era o aumento do volume da caixa. Naturalmente este enfoque originava problemas, em vista do grande espaço necessário a um bom sonofletor de alta fidelidade. Com o advento do sistema estéreo tornou-se impraticável colocar esse tipo de caixa em um ambiente doméstico. Em 1930 Thuras, um estudioso americano, patenteou o sistema tipo "bass-reflex" - refletor de graves. O principio básico do sistema consiste em aproveitar a radiação traseira do falante, produzindo uma interação construtiva com o volume interno da caixa para as baixas oitavas mais críticas. Somente vinte anos após foi reconhecido um modelo matemático por meio de analogias eletromecanoacústicas. Esse tipo de modelo é construido através da aplicação da teoria dos circuitos elétricos na solução dos problemas acústicos e mecânicos. Data desta época o famoso livro didático de Beranek, "Acoustics"(1), o qual desenvolve expressões polinomiais para a solução simples dos problemas de construção de sonofletores, tanto para refletores de graves quanto para caixas seladas, hoje mais conhecidas pelo nome de "Suspensão Acústica". No entanto a solução proposta era bastante restrita e não permitia o cálculo exato para uma determinada curva de resposta desejada. Outros autores introduziram sucessivos aperfeiçoamentos no modelo, porém este continuou de aplicação restrita. Nos anos sessenta foi dado um passo significativo para a obtenção da solução geral do modelo matemático com a aplicação da síntese de filtros, tecnologia aplicada por por Novak (2) e de Boer (3) quase que simultaneamente. A solução básica proposta consiste na analogia entre um filtro passa-altas e a curva de resposta na região de graves de um sonofletor. O modelo do filtro passa-altas é obtido através do uso de funções de transferência, um conceito matemático que permite uma solução elegante e correta para o problema. Em 1961 um pesquisador australiano, Neville Thiele (4), analisou o problema de forma prática, complementada sua análise, 13 anos após, por Richard H. Small. Em conjunto os trabalhos de Thiele/Small fornecem uma visão ampla de um método de construção de sonofletores rigorosamente exato, em que todos os fatores são exatamente avaliados e aplicados. A partir da escolha da curva de resposta desejada, da eficiência aceitável, da potência admissivel, pode-se saber de antemão qual o tipo de falante necessário, o sistema a ser usado, ou mesmo a distorção e a resposta a transientes que se obterá. Para a construção de um sonofletor três tipos de problemas interessam serem resolvidos: Determinar que caixa será usada para um dado falante. Determinar que falante é necessário para uma dada caixa. Determinar caixa e falante necessários dentro de limitações impostas externamente. A solução destes problema é obtida através de dois critérios básicos de desempenho: A resposta em frequência/transiente do sistema em frequências baixas, onde o cone se comporta como um material rígido. Esta resposta é obtida analisando-se o comportamento do sistema na presença de pequenos sinais "small-signal analysis". A capacidade de absorção de potência elétrica e sua conversão em potência acústica, ou seja, eficiència - "large signal analysis". Uma solução completa dos três tipos de problemas, levando em conta os critérios básicos de desempenho do conjunto falante+caixa em condições de sinais tanto altos como baixos, é bastante trabalhosa,constituindo-se em tarefa mais apropriada a computadores digitais. Estes, com sua alta velocidade de cálculo, permitem a pesquisa de um número extremamente alto de alternativas fisicamente realizáveis, através da variação dos critérios de qualidade dentro de limites definidos pelo projetista. Neste trabalho vamos apenas propor fórmulas simples para a solução restrita do modelo geral. Portanto o que faremos será estabelecer os critérios para projetar uma caixa apropriada para um dado altofalante, dentro da restrição de uma curva de resposta fixa em frequência e com resposta a transientes considerada boa. Não chegaremos a explorar os problemas que surgem com sinais de potência ( large-signal analysis), uma vez que o nosso interesse é permitir ao leitor entender os princípios básicos que agem na física dos sistemas de reprodução acústica, sem no entanto pretender explorar profundamente o assunto. As fórmulas dadas são relativamente simples, permitindo o uso de máquinas de calcular, de tabelas, e o emprego de programas para PC's. Naturalmente, para o leitor mais avançado, as explicações que forneceremos serão insuficientes. Para estes, recomendamos o estudo em livros mais avançados, dos quais destacamos, em língua portuguesa: Homero Sette Silva, Altofalantes e Caixas Acústicas Pelo Método Thiele-Small, Editora H. Sheldon, 1996; Vance Dickason, Caixas Acústicas e Altofalantes, Editora H. Sheldon, 1993.  2. O Modelo Geral Vamos tentar desenvolver o modelo de comportamento de um sonofletor através de um raciocínio simplificado. Inicialmente, o que é, em essência, um sonofletor? Um falante e sua caixa acústica formam um sistema oscilador. O sonofletor pode ser comparado com uma mola que possui um peso fixo em sua extremidade. Considerando essa idéia, como podemos, em termos de modelo físico, descrever o altofalante? Ele possui um conjunto de massas - do cone e da bobina móvel; apresenta ainda uma suspensão, que ao se mover ostenta perdas, ou seja, resiste ao movimento. Através de analogias físicas, e para definir matematicamente com mais facilidade o nosso objeto de estudo, podemos montar o circuito oscilante do altofalante utilizando elementos elétricos de valores equivalentes aos elementos reais mecânicos. Conforme pode-se observar, o análogo da massa passa a ser uma indutância, o análogo da suspensão, definida por sua compliância, é um capacitor, e os atritos na suspensão são representados por uma resistência. Foi introduzido aqui um conceito novo, que é o de compliância: a maior ou menor resistência que a suspensão impõe ao movimentodo diafragma. O valor da compliãncia aumenta quanto mais "macia" for a suspensão e diminui em caso contrário. Normalmente é um pouco difícil trabalhar-se com a grandeza compliância, por isso define-se o Volume Equivalente do Falante, o qual representa o volume de ar que possui uma elasticidade equivalente à compliância do altofalante. Mais adiante vamos usar bastante o conceito de volume equivalente. Voltando um pouco em nossa análise, vamos definir agora a parte elétrica do falante. O diafragma em seus movimentos é controlado por meio de um motor eletromagnético, o qual consiste em uma bobina imersa em um forte campo magnético. Ao circular uma corrente alternada na bobina cria-se uma força de origem eletromagnética, proporcional à intensidade do campo magnético e ao comprimento da bobina móvel. O motor eletromagnético mantém sob controle a massa do diafragma, acelerando-o ou desacelerando-o conforme a tensão elétrica imposta pelo amplificador. Outras características que influem no comportamento do motor eletromagnético são a resistência elétrica da bobina , conjugado à resistência interna do amplificador usado e a área equivalente do diafragma do altofalante. Ao montarmos o circuito equivalente da parte motora do falante, vamos usar um gerador de tensão constante, de força eletromotriz diretamente proporcional à tensão elétrica do amplificador usado, à densidade de fluxo magnético no entreferro e ao comprimento do fio da bobina móvel, inversamente proporcional à resistência da bobina e do amplificador somadas e à área equivalente do cone do falante. Comparece ainda neste circuito uma resistência, conforme mostramos . Observe neste circuito que existem parâmetros externos ao falante e que influenciam seu comportamento, que são: a tensão fornecida pelo amplificador e sua resistência interna. Quanto à tensão fornecido, ela influirá na potência a ser liberada acusticamente pelo falante, isto é, a "voltagem" fornecida pelo amplificador determinará a movimentação do diafragma. Quanto à resistência interna do amplificador, ela altera, juntamente com a resistência elétrica da bobina o modo em que se dá o acoplamento do movimento mecãnico do diafragma com o "movimento elétrico" imposto pelo amplificador. Desta forma quanto maior a resistência interna do amplificador relativamente à resistência da bobina, mais "frouxo" será esse acoplamento. A relação entre a resistência da bobina e a resistência do amplificador chamada de Fator de Amortecimento. Vamos dar um exemplo: a impedância típica de saída de um bom amplificador pode ter um valor de 0,2 ohm. Calculando-se a relação entre a impedãncia nominal de 8 ohms de um falante e a resistência interna de 0,2 temos um fator de amortecimento de 40, um bom valor. Esse valor significa que o amplificador em questão é capaz de manter um alto acoplamento elétrico com o sonofletor e portanto acelerar e desacelerar o cone deste com precisão, originando portanto uma resposta a transientes mais fiel. Continuando a montagem do nosso modelo, já temos prontas as partes elétrica e mecãnica, faltando ainda o lado acústico do falante. Ao movimentar-se o diafragma, é empurrado um volume de ar que se encontra em sua frente. Este volume de ar possui uma certa massa, que reage à movimentação aplicada pelo falante, apresentando também atritos internos que dissipam a potência aplicada. Portanto montando o circuíto análogo que simboliza a parte acústica frontal ao falante, temos uma indutãncia e uma resistência que representam a carga de ar imposta ao movimento deste. 3. Funções de Transferência e Síntese de filtros Uma função de transferência consiste em uma fórmula que mostra a relação entre a transformada de Laplace de uma variável de saida (que seria a resposta do sistema) e a transformada de Laplace de uma variável de entrada (que é a função de excitação do sistema). A partir dessa definição inicial, vamos passar a conceituar cada um dos termos mencionados acima. Primeiramente, o que seria a Transformada de Laplace? O método clássico usado para a solução de equações diferenciais dependentes da variável tempo (esse tipo de equação é uma característica de circuitos elétricos), requer a manipulação repetitiva de equações algébricas. Pode-se optar por um caminho mais simples através do uso das funções transformadas. Esse método consiste em, dada uma determinada função do tempo, transformá-la em outra função dependente de outra variável complexa em função da frequência, tipo p= s + jw. Esta nova função é chamada de transformada. O interessante desta transformação, é que por esse meio as derivadas e integrais da função temporal são convertidas em funções algébricas simples, tipo multiplicações e divisões. Para o estudo de condições de resposta de circuitos elétricos usa-se principalmente a Transformada de Laplace - esta operação transforma uma função de tempo t em uma função da variável complexa s. Como exemplo vamos supor a equação que descreve o comportamento em termos do relacionamento entre tensão e corrente em um capacitor: Esta equação, que apresenta uma integral no tempo, colocada em têrmos de Transformada de Laplace toma o aspecto: V(s) = s L I(s) Para obter a função inversa, isto é, ter-se a corrente em função da tensão, basta simplesmente inverter a equação da mesma forma como se faria com funções algébricas: Dessa forma as operações matemáticas são grandemente facilitadas, o que já não acontece com a função temporal, em que, no caso em exemplo, tornaria necessário passar da integral para uma derivada. Sabendo-se agora o que são as transformadas, podemos partir para conceituar melhor as funções de transferência. Qualquer tipo de circuito elétrico passivo pode ser definido em termos do comportamento de sua saída em função de uma excitação presente em sua entrada. Se a função de transferência for chamada de G(s), a excitação de E(s) e a resposta do sistema de R(s), teremos a seguinte relação: Esta equação traduz matematicamente a definição de função de transferência dada na abertura. As funções R(s) e E(s) podem ser tensões ou correntes. Se a relação for entre uma tensão e uma corrente poderá ser chamada de impedãncia de transferência, em caso inverso de transmitância. A mais importante aplicação das funções de transferência refere-se à síntese de filtros. Um filtro é definido como um circuito que permite a passagem de uma certa parte do espectro de frequências e bloqueia o restante. Um filtro passa-altas ideal permite a passagem de todas as frequências acima da frequência de corte e bloqueia todas as abaixo. A síntese de filtros consiste em, a partir de um circuito, formar a função de transferência G (s) ou então, considerando-se uma curva de resposta desejada, compor a função de transferência específica. Em geral as funções de transferência apresentam o seguinte aspecto: onde os coeficientes (a1,.....,an-1) e (b1,.....,bn) em particular controlam a forma da resposta em amplitude e fase/frequência; juntamente com T0 esses coeficientes determinam a frequência de corte do filtro passa-altas. Formas de respostas conhecidas como as de Butterworth e Tschebyschev são caracterizadas por conjuntos fixos de coeficientes dos tipos a e b. Como a resposta em frequência de um sonofletor é assemelhada à de um filtro tipo passa-altas,pela análise deste tipo de função, montada através da conversão dos parãmetros físicos e elétricos, pode-se sintetizar as características de resposta de qualquer caixa acústica.