Dimensionamento de D u t o s
Para Caixas Acústicas
Conceitos Fundamentais, Gráficos e Tabelas
Homero Sette Silva Atualização 17 03 2003
Caixas acústicas dos tipos Refletor de Graves e Band Pass utilizam uma abertura, denominada duto,
para alterar suas características de funcionamento em torno da freqüência de sintonia.
O volume de ar encerrado dentro da caixa acústica tem um comportamento capacitivo enquanto que o
duto atua como um indutor, de modo que o termo sintonizar está perfeitamente aplicado, uma vez que
teremos um circuito equivalente composto por um capacitor em paralelo com um indutor.
Esta combinação é denominada ressonador de Helmholtz, em homenagem ao físico que estudou este
dispositivo, encontrado em muitas situações comuns ao nosso mundo, como cavernas e instrumentos
musicais, sendo esses os dotados de caixas de
ressonância, como violão, bumbo, berimbau, etc ...
Sob o ponto de vista didático, o ressonador de
Helmholtz costuma ser representado por uma garrafa
(Fig. 1), onde o volume de ar está confinado, com um
gargalo, onde comprimento e diâmetro são as variáveis
de interesse, alem do volume, ao qual já nos referimos.
Essas variáveis combinam-se de modo a gerar uma
freqüência de ressonância, que pode ser ouvida ao
sopramos na boca da garrafa. Alterando qualquer uma
das mencionadas variáveis, provocaremos uma mudança
na freqüência de ressonância, o que facilmente se
consegue através do preenchimento com água de parte
do volume da garrafa.
O volume de ar Vb comporta-se como uma
capacitância acústica, dada pela equação (1.1).
A massa de ar Mm, dentro do duto, pode ser
obtida multiplicando-se o volume interno do duto (área
da sua seção reta vezes o comprimento) pela densidade
do ar. Esta massa mecânica, em Kg, será transformada
em massa acústica (inertância) dividindo-a pelo
quadrado da área em questão.
Fig. 1 - Ressonador de Helmholtz, didático.
(1.1) 5
2
Cab Vb [m / N]
C
=
ρ ⋅
Mm = ρ ⋅L⋅S [Kg] (1.2)
4
2 2
Ma Mm L S L [Kg /m ]
S S S
ρ⋅ ⋅ ρ⋅
= = = (1.3)
( )
3
C
M P [Kg /m ]
R 273,15 T °
ρ = ⋅
+
(1.4)
Vb
(1.5) ( ) C
C R 273,15 T
M °
= γ ⋅ ⋅ + ( ) C C 402,94 273,15 T°
= ⋅ +
(1.6)
( )
( )
2
C
C
M R
R 273,15 T
C P 273,15 T P
M °
°
⋅ ⋅ + ⋅
+
ρ ⋅ = ⋅ γ = γ ⋅ (1.7)
Onde:
Cab = Compliância acústica do volume Vb ; L = Comprimento do duto
ρ = Densidade do ar ; C = Velocidade do som no ar ; S = Área do duto
Ma = Massa acústica no interior do duto (inertância)
Calor Específico do Gás à Pr essão Cons tan te
1, 402 (ar)
Calor Específico do Gás à Volume Cons tan te
γ= =
R = Constante dos gases perfeitos = 8.314,32 em [ Joule / Kg⋅Kmol ⋅K]
K = Temperatura em Kelvin ; T = Temperatura em graus Celsius
M = Peso molecular do gás = 28,97 (ar seco) , adimensional
Um detalhe importante, que precisa ser abordado, diz respeito
ao efeito das pontas, no duto.
As moléculas de ar, vibrando nas suas extremidades,
transmitem energia para outras moléculas, fora do duto, que passam
por sua vez a vibrar, também, estendendo o efeito do duto para alem
dos seus limites físicos. Isto faz com que o duto se comporte como se
fosse maior do que é, fisicamente.
O quanto de massa cada uma das pontas vai agregar ao duto,
depende da geometria da terminação.
Vamos aqui supor o caso mais comum: uma das extremidades
do duto está colocada rente ao painel da caixa, formando um flange,
enquanto que a outra termina livremente, conforme a Fig. 2.
Fig. 2 - Ressonador de Helmholtz
Devemos observar que, no caso do ressonador da Fig. 2, o
volume ocupado pelo duto deve ser descontado do volume da esfera para obtermos Vb, caso o volume do
duto seja da mesma ordem de grandeza que o volume da esfera. Alem disso, os fatores de correção das
pontas serão um pouco diferentes daqueles correspondentes ao primeiro caso, representado na Fig. 1, onde o
duto estava para fora. Para um duto com uma terminação em flange e a outra livre, teremos:
a1
M 0,27
S
= ρ ⋅ π (Terminação em Flange) (1.8)
a2
M 0,195
S
= ρ ⋅ π (Terminação Livre) (1.9)
Map=Ma+Ma1+Ma2 (Massa Acústica Total do Duto) (1.10)
Map L 0,27 0,195
S S S
π π = ρ + +
(1.11)
Map L 0,27 S 0,195 S
S S S
π ⋅ π ⋅ = ρ + +
(1.12)
Map (L 0,27 S 0,195 S)
S
=ρ + π ⋅ + π ⋅ (1.13)
Os termos dentro do parêntesis, na equação (1.13), sugerem que o comprimento equivalente do duto
é o resultado da soma de três partes: o comprimento físico e os comprimentos que corrigem o efeito de
ambas as pontas.
L Comprimento físico do duto
C1 L =0,27π ⋅S Correção da ponta em flange (1.14)
C2 L = 0,195 π ⋅ S Correção da ponta livre (1.15)
SC1 SC2 K = 0,27 π ; K = 0,195 π (1.16)
C1 SC1 C2 SC2 L =K ⋅S ; L =K ⋅S (1.17)
SC SC1 SC2 C SC K =K +K ; L =K ⋅S (1.18)
C1 C2 Le= L+L +L Comprimento efetivo do duto (1.19)
C1 C2 Lc=L +L Correção das duas pontas (1.20)
SC Le=L+Lc ; Le=L+K ⋅ S (1.21)
Lc = 0,27 π ⋅ S + 0,195 π ⋅ S = 0, 465 π ⋅ S (1.22)
Le= L+0, 465 π ⋅ S (1.23)
Map Le
S
= ρ ⋅ (1.24)
2
Map Cab Vb Le
C S
⋅ = ⋅
⋅
(1.25)
Fb 1
2 Map Cab
=
π ⋅
Freqüência de sintonia do sistema caixa-duto (1.26)
2
Fb 1
2 Vb Le
C S
=
π ⋅
⋅
(1.27)
Fb C S
2 VbLe
= ⋅
π ⋅
(1.28)
2
2 2
1 4 VbLe
Fb C S
= π ⋅ ⋅ (1.29)
2
2 2
Le L Lc C S
4 Vb Fb
= + = ⋅
π ⋅
(1.30)
2
2 2
L C S Lc
4 Vb Fb
= ⋅ −
π ⋅
(1.31)
2
2 2 SC
L C S K S
4 Vb Fb
= ⋅ − ⋅
π ⋅
(1.32)
2
2 2
L C S 0, 465 S
4 Vb Fb
= ⋅ − π ⋅
π ⋅
(1.33)
Para L e D em cm, Vb em litros, C = 343 m/s e Fb em Hz, vem:
2
2
C 29800
4π
�� (1.34)
2
L 29800 S 0,465 S
Vb Fb
⋅
= − π ⋅
⋅
(1.35)
Para dutos circulares, teremos:
S D2 ; S D
4 4
= π⋅ = π⋅ (1.36)
2 2
2
L C D 0, 465D
16 Vb Fb 2
= ⋅ − π ⋅
π ⋅
(1.37)
2 2
2
L C D 0,74 D
16 Vb Fb
= ⋅ − ⋅
π ⋅
(1.38)
Para L e D em cm, Vb em litros, C = 343 m/s e Fb em Hz, vem:
C2 23400
16 ⋅ π
�� (1.39)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
10 100 1000
20
Tabela 1 - Numero de Dutos
1 2 3 4
Diâmetro
Dos
Dutos
em cm
Áreas em cm2
15
176,71
353,43
530,14
706,86
12,5
122,72
245,44
368,16
490,87
10
78,54
157,08
235,62
314,16
7,5
44,18
88,36
132,54
176,71
5,0
19,63
39,27
58,90
78,54
2,5
4,91
9,82
14,73
19,63
2
2
L 23400 D 0,74 D
Vb Fb
= ⋅ − ⋅
⋅
(1.40)
A equação (1.40) está graficamente representada, nas
figuras que mostraremos mais adiante, para os valores mais
comuns de D e Vb, e para a faixa usual de Fb.
Na Tabela 2, temos os valores de Fb medidos, e os
calculados através da equação (1.41), para diversos
comprimentos de duto, todos com 10 cm de diâmetro, em uma
caixa de 250 litros.
Como podemos constatar, o erro máximo foi da ordem
de 10 % e todas as freqüências obtidas foram menores que as
desejadas, ou seja, os dutos comportaram-se como se fossem
maiores do que o previsto. Mais adiante veremos um
procedimento para aumentar a precisão da sintonia do duto.
Fb em Função de L, D e Vb
( )
2 2
2
L 0,74D 23400 D Fb 23400 D
Vb Fb Vb L 0,74 D
⋅ ⋅
+ ⋅ = ∴ =
⋅ ⋅ + ⋅
(1.41)
D em Função de L, Vb e Fb
(L + 0,74⋅D)⋅Vb⋅Fb2= 23400⋅D2 (1.42)
23400⋅D2− 0,74⋅Vb⋅Fb2⋅D − L⋅Vb⋅Fb2 = 0 (1.43)
a⋅D2 + b⋅D + c = 0 (1.44)
a = 23400 ; b = − 0,74⋅Vb⋅Fb2 ; c = − L⋅Vb⋅Fb2 (1.45)
2 D b b c
2a 2a a
− = ± −
(1.46)
Como só interessa a raiz positiva, vem:
0,74 Vb Fb2 0,74 Vb Fb22 L Vb Fb2 D
46800 46800 23400
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= + +
(1.47)
Vb = 250 L - D = 10 cm
Valores de Fb
Medidos e Calculados
Tabela 2
Valores Medidos Valores Calculados
L
Cm
Fb
Hz
Fb
Hz
Erro
%
10,00 25,80 23,19 - 10,10
9,10 26,40 23,82 - 9,78
7,00 27,00 25,50 - 5,57
6,00 28,40 26,43 - 6,94
5,00 29,10 27,47 - 5,59
4,00 29,80 28,65 - 3,85
3,50 30,80 29,30 - 4,86
2,50 31,20 30,75 - 1,45
2,00 31,80 31,56 - 0,77
1,80 32,00 31,90 - 0,32
Fb em Função de L, S e Vb
( ) 2
L 0,465 S 29800 S Fb 29800 S
Vb Fb Vb L 0,465 S
⋅ ⋅
+ π ⋅ = ∴ =
⋅ ⋅ + π ⋅
(1.48)
S em Função de L, Vb e Fb
SC 2
L K S 29800 S
Vb Fb
+ ⋅ = ⋅
⋅
(1.49)
SC 2
K S 29800 S L
Vb Fb
⋅ = ⋅ −
⋅
(1.50)
2
2 2 2
SC 2 2
K S 29800 S 2 29800 L S L
Vb Fb Vb Fb
⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
(1.51)
2
2 2 2
2 SC 2
29800 S K 59600 L S L 0
Vb Fb Vb Fb
⋅ ⋅ − + ⋅ + = ⋅ ⋅
(1.52)
2
2 2
2 SC 2
a 29800 ;b K 59600 L ; c L
Vb Fb Vb Fb
⋅ = =− + = ⋅ ⋅
(1.53)
( ) 2 2 2 2
SC 2 SC
2 2
2
K 59600 L b Vb Fb K Vb Fb 59600 L Vb Fb
2a 2 29800 2 29800
Vb Fb
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = − = −
⋅ ⋅ ⋅
(1.54)
c VbFb2L2
a 29800
⋅ ⋅ =
(1.55)
2 S b b c
2a 2a a
− = ± −
(1.56)
Como a raiz diferença levará à uma área S muito pequena, ficaremos apenas com a raiz soma:
2 S b b c
2a 2a a
− = + −
(1.57)
Vale lembrar que –b/2a é um número positivo.
30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
0
5
10
15
20
25
Vb = 250 Litros com Três Dutos
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 12,5
D = 10
D = 7,5
30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
0
5
10
15
20
25
Vb = 250 Litros com Dois Dutos
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 12,5
D = 10
D = 7,5
30 35 40 45 50 55
0
5
10
15
20
25
Vb = 200 Litros com Três Dutos
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 12,5
D = 10
D = 7,5
30 35 40 45 50 55
0
5
10
15
20
25
Vb = 200 Litros com Dois Dutos
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 12,5
D = 10
D = 7,5
30 35 40 45 50 55
0
5
10
15
20
25
Vb = 150 Litros com Três Dutos
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 12,5
D = 10
D = 7,5
30 35 40 45 50 55
0
5
10
15
20
25
Vb = 150 Litros com Dois Dutos
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 12,5
D = 10
D = 7,5
35 40 45 50 55 60
0
5
10
15
20
25
Vb = 100 Litros com Dois Dutos
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 12,5
D = 10
D = 7,5
30 35 40 45 50 55
0
5
10
15
20
25
Vb = 100 Litros com Um Duto
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 12,5
D = 10
D = 7,5
35 40 45 50 55 60
0
5
10
15
20
25
Vb = 75 Litros com Dois Dutos
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 10
D = 7,5
D = 5,0
35 40 45 50 55 60
0
5
10
15
20
25
Vb = 75 Litros com Um Duto
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 12,5
D = 10
D = 7,5
35 40 45 50 55 60
0
5
10
15
20
25
Vb = 50 Litros com Dois Dutos
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 10
D = 7,5
D = 5,0
35 40 45 50 55 60
0
5
10
15
20
25
Vb = 50 Litros com Um Duto
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 10
D = 7,5
D = 5,0
35 40 45 50 55 60
0
5
10
15
20
25
Vb = 40 Litros com Um Duto
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 10
D = 7,5
D = 5,0
35 40 45 50 55 60
0
5
10
15
20
25
Vb = 30 Litros com Um Duto
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 10
D = 7,5
D = 5,0
35 40 45 50 55 60
0
5
10
15
20
25
Vb = 20 Litros com Um Duto
Freqüência de Sintonia Fb
Comprimento do Duto em cm
D = 7,5
D = 5,0
D = 2,5
Dutos Múltiplos, Área Total S
Muitas vezes, por razões práticas, poderemos desejar sintonizar a caixa utilizando mais de um duto.
Isto pode acontecer quando o diâmetro do duto é grande demais para caber no painel da caixa, sendo
necessário dividi-lo em outros menores, mas a freqüência de sintonia deverá permanecer inalterada.
Através da equação (1.31) podemos imaginar que se utilizarmos diversos dutos, onde a soma de suas
áreas seja igual a S, a freqüência de ressonância não se alteraria. Isto é aproximadamente verdadeiro, pois o
fator de correção das pontas vai se modificar, devido ao acoplamento mútuo entre eles. Admitindo como
válida esta simplificação, teremos:
S=N⋅SN (1.58)
2 2
N
N
S D ; S D
4 4
=π ⋅ =π ⋅ (1.59)
2 2
N 2 2
N N
N D D ND D D D
4 4 N
⋅ π ⋅ = π ⋅ ∴ ⋅ = ∴ = (1.60)
Onde:
S = Área desejada do duto (total) ; N = Número de dutos ; N S = Área de um dos N dutos
D = Diâmetro correspondente à área S ; N D = Diâmetro correspondente à área N S
Desse modo, se desejarmos substituir um duto de diâmetro D por três outros, os novos dutos terão um
diâmetro igual ao diâmetro original divido por 3 , cada um deles com o mesmo comprimento do duto
original.
Se dividirmos por N o numerador e o denominador da fração existente na equação (1.31), poderemos
encontrar uma nova interpretação para o que vimos acima: para sintonizar uma caixa, na freqüência Fb
desejada, usando N dutos, basta calcular o comprimento L para um volume N vezes menor e usar N dutos
iguais, com os diâmetros e os comprimento obtidos. Novamente, estamos desconsiderando a alteração em
Lc devido à proximidade dos dutos múltiplos.
2
2
2
S
L C N Lc 4 Vb Fb
N
= ⋅ −
π ⋅
(1.61)
Dutos Múltiplos, Área Total N⋅S
Outro forte motivo para desejarmos aumentar a área total dos dutos é diminuir as perdas por atrito.
Neste caso, um duto de área S será substituído por N dutos, cada um com a mesma área S original, o
que implicará na alteração do comprimento do duto, que aumentará, de modo a não alterar Fb.
Como exemplo, um duto com 10 cm de diâmetro, o que corresponde a uma área de 78,54 cm2,
poderá ser substituído por dois outros, de mesmo diâmetro, o que duplicará a área (157,08 cm2) e exigirá a
alteração do comprimento do duto original. Para calcular o novo comprimento, faremos o desenvolvimento
que se segue, partindo da equação (1.32), reproduzida, por conveniência, em (1.62).
2
2 2 SC
L C S K S
4 VbFb
= ⋅ − ⋅
π ⋅
(1.62)
2
N 2 2 SC
L C NS K N S
4 VbFb
⋅
= ⋅ − ⋅ ⋅
π ⋅
(1.63)
N SC
SC
L K NS N
L K S
+ ⋅ ⋅=
+ ⋅
(1.64)
( ) N SC SC L =N⋅L+K ⋅ S −K ⋅ N⋅S (1.65)
N SC SC L =N⋅L+N⋅K ⋅ S−K ⋅ N⋅ S (1.66)
( ) N SC L =N⋅L+K ⋅ S⋅N− N (1.67)
D2 D S S
4 2
π ⋅ π ⋅
= ∴ = (1.68)
( ) N SC L NL K D N N
2
π
= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − (1.69)
Para SC K = 0, 465⋅ π, vem:
( ) N
L NL 0,465 D N N
2
⋅ π
= ⋅ + ⋅ ⋅ − (1.70)
Como exemplo, um duto de 10 cm diâmetro, por 7 cm de comprimento, poderá ser substituído por
dois dutos, cada um com 10 cm de diâmetro e um comprimento igual a 18,28 cm.
( ) N
L 27 0,465 10 2 2 14 4,28 18,28
2
⋅ π
= ⋅ + ⋅ ⋅ − = + =
2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
10
15
20
25
Dois Tres e Quatro Dutos no Lugar de Um
Comprimento do Duto Unico de Diâmetro 10 cm
Comprimentos dos Dutos Multiplos
N = 2
N = 3
N = 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
10
15
20
25
Dois Tres e Quatro Dutos no Lugar de Um
Comprimento do Duto Unico de Diâmetro 7,5 cm
Comprimentos dos Dutos Multiplos
N = 2
N = 3
N = 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
10
15
20
25
Dois Tres e Quatro Dutos no Lugar de Um
Comprimento do Duto Unico de Diâmetro 5 cm
Comprimentos dos Dutos Multiplos
N = 2
N = 3
N = 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
10
15
20
25
Dois Tres e Quatro Dutos no Lugar de Um
Comprimento do Duto Unico de Diâmetro 2,5 cm
Comprimentos dos Dutos Multiplos
N = 2
N = 3
N = 4
Alterando o Diâmetro do Duto
Um duto, de determinado diâmetro e comprimento, pode ter seu diâmetro e comprimento alterados,
adequadamente, mesmo sem conhecermos o volume Vb da caixa nem sua freqüência de sintonia Fb. Esta
necessidade, algumas vezes encontrada na prática, pode ser satisfeita, com bons resultados, através do
desenvolvimento que se segue, partindo-se da equação (1.38), aqui repetida por conveniência.
(1.71)
2 2
2
2 2
L C D 0,74 D
16 Vb Fb
= ⋅ − ⋅
π ⋅
2 2
1
1 1
L C D 0,74 D
16 Vb Fb
= ⋅ − ⋅
π ⋅
(1.72)
2
2 2 2
1 1 1
L 0,74D D
L 0,74D D
+ ⋅
= + ⋅
(1.73)
( )
2
2
2 2 1 1
1
L 0,74 D L 0,74 D D
D
+ ⋅ = + ⋅ ⋅
(1.74)
( )
2
2
2 1 1 2
1
L L 0,74D D 0,74D
D
= + ⋅ ⋅ − ⋅
(1.75)
2 2
2 2
2 1 1 2
1 1
L L D 0,74D D 0,74D
D D
= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅
(1.76)
2 2
2 2
2 1 1 2
1 1
L L D 0,74 D D D
D D
= ⋅ + ⋅ ⋅ −
(1.77)
2
2 2
2 1 2
1 1
L L D 0,74D D 1
D D
= ⋅ + ⋅ ⋅ −
(1.78)
Como exemplo, calculemos o comprimento de um duto, com 10 cm de diâmetro, capaz de substituir um
outro com 7,5 cm de diâmetro e 8 cm de comprimento. Aplicando (1.78), encontramos 16,7 cm. Se o novo
diâmetro fosse igual a 5 cm, teríamos um comprimento de 2,3 cm, próximo ao limite mínimo imposto pela
espessura da madeira, geralmente de 2 cm.
2
2
L 8 10 0,74 10 10 1 14, 22 2, 47 16,69 cm
7,5 7,5
= ⋅ + ⋅ ⋅ − = + =
2
2
L 8 5 0,74 5 5 1 3,56 1, 23 2,32 cm
7,5 7,5
= ⋅ + ⋅ ⋅ − = − =
2 4 6 8 10 12 14
5
10
15
20
25
Alterando um Duto
Comprimento do Duto de Diâmetro 10 cm
Comprimento do Novo Duto
D = 15
D = 12,5
D = 7,5
2 4 6 8 10 12 14
5
10
15
20
25
Alterando um Duto
Comprimento do Duto de Diâmetro 7,5 cm
Comprimento do Novo Duto
D = 12,5
D = 10
D = 5
Aumentando a Precisão com Diâmetro Constante
As equações (1.32) e (1.40) não são exatas. Como fontes de erro temos a influência da temperatura,
na velocidade do som, e a imprecisão da correção do efeito das pontas, que sofre influência da proximidade
das paredes da caixa e do alto-falante.
Alem disso, a umidade do ar não foi até agora considerada mas sua presença afeta a velocidade de
propagação do som no ar através da alteração do cociente γ/M, presente na equação (1.6).
Por sua vez, a velocidade de propagação do som no ar, que na ausência da umidade independe da
pressão atmosférica, será afetada por esta variável, na presença da umidade (para maiores detalhes sobre
esses aspectos, consultar o trabalho AR, também da minha autoria).
Desse modo, a quantidade C2/4π2, geralmente representada pelo valor constante 2980 (para C em
m/s) e 29800 quando coeficiente da equação (1.35), na verdade varia com a temperatura, a umidade e a
pressão atmosférica. Para o ar a uma temperatura de 18,62 °C, com 50 % de umidade relativa, e ao nível do
mar, ou seja a uma pressão atmosférica igual a 1013,246 mb teremos para C2/4π2 o valor 2980 m2/s2. Na
Tabela 3, esse valor foi conseguido para diferentes condições atmosféricas. Como podemos ver o valor 2980
só é verdadeiro para temperaturas na faixa de 18 a 19 °C e quando esta se torna igual a 30 °C obteremos
3106,6, para 50 % de umidade relativa e pressão atmosférica normal ao nível do mar. Como podemos ver,
inclusive nos gráficos da Fig. 4, a temperatura tem grande influência na velocidade do som no ar e esta
dependência do valor de C2/4π2 com a temperatura, é uma das fontes de erro no processo da sintonia do
duto. Se adotássemos o valor 3106,6, para C2/4π2, correspondente a uma temperatura de 30 °C, teríamos
C2/16π = 2440, que se transformaria em 24400 ao ser usado no lugar de 23400 na equação (1.40).
Variação de C2/4π2 com a Temperatura, Umidade e Pressão Atmosférica
Tabela 3
T em °C 18,1 18,7 19 18,0 18,6 19 30
U em % 80 50 30 80 50 30 50
P em mb 1013,246 1013,246 1013,246 950 950 950 1013,246
C m/s 343,0118 343,0461 342,9942 343,0073 343,0226 343,0180 350,2441
C2/4π2 2980,3 2980,9 2980,0 2980,2 2980,5 2980,4 3106,6
Como os dutos calculados com as equações (1.35) e (1.40) são, geralmente,
maiores do que deveriam (o que leva a valores de Fb menores do que os
desejados) os novos valores acima obtidos só iriam aumentar ainda mais os
erros.
É provável que a maior fonte de discrepância esteja nos fatores de
correção das pontas, uma vez que foram obtidos para uma situação diferente
daquela retratada na Fig. 2, pois a ponta em flange estaria fixada em um baffle
infinito, conforme a Fig. 3.
É claro que podemos diminuir, por seguidas tentativas, esse
comprimento, até encontrarmos a sintonia desejada. Uma maneira mais prática
de chegarmos mais rapidamente ao valor procurado consiste em eliminarmos os
fatores que afetam a precisão daquela equação.
Isso pode ser conseguido através de uma equação empírica, satisfeita
através da medição de dois valores de Fb obtidos a partir da instalação de dois
dutos diferentes e de qualquer comprimento, mas com o diâmetro desejado.
Fig. 3 – Duto, com terminação em flange, montado em um baffle infinito.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
−10
−5
0
5
10
15
U = 50 % e P = 1013 mb
Variação % de C2 / 4π2 em Relação a 2980
Temperatura em °C
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
3.5
4
4.5
5
T = 30 °C e P = 1013 mb
Variação % de C2 / 4π2 em Relação a 2980
Umidade Relativa do Ar em %
600 650 700 750 800 850 900 950 1000
4.25
4.3
4.35
4.4
4.45
4.5
4.55
4.6
4.65
4.7
Pressao Atmosferica em mb
Variação % de C2 / 4π2 em Relação a 2980
T = 30 °C e U = 50 %
Fig. 4 – Gráficos mostrando a variação da velocidade do som C com as condições ambientais e de C2/4π2 .
Como o volume Vb e o diâmetro do duto D são constantes, particularizando a equação (1.31) para
esta situação, obteremos (1.79) onde os coeficientes A e B serão calculados a partir das duas medições
efetuadas, que forneceram os valores de 1 1 2 2 L , Fb e L , Fb .
2 2 2 1 2
2 1
L A B ; L A B ; L A B
Fb Fb Fb
= − = − = − (1.79)
2 1 2 2
2 1
L L A A
Fb Fb
− = − (1.80)
2 1
2 2
2 1
L L
A 1 1
Fb Fb
−
=
−
(1.81)
2 22
B A L
Fb
= − (1.82)
Fb A
L B
=
+
(1.83)
Na tabela acima vemos os resultados das
medições de Fb efetuadas com onze diferentes
comprimentos de duto, todos com o mesmo diâmetro
(10 cm). Utilizando o primeiro e o ultimo par foi
obtida a equação empírica (1.83), onde A = 15597 e B
= 13,4312, que permitiu a obtenção dos valores de Fb
calculados e do erro relativo percentual, mostrados na
Tabela 3. Como podemos ver na Fig. 4, o modelo
empírico apresentou excelentes resultados.
Dividindo numerador e denominador da
equação (1.41) por Vb, teremos (1.84), de modo que
(1.84)
23400 D2 /Vb
Fb
L 0,74D
⋅
=
+ ⋅
(1.85)
a D2 A ; B b D
Vb
= ⋅ = ⋅
Por esse motivo (a total concordância entre a equação empírica e a que define o fenômeno estudado)
é que dispensamos o uso do procedimento denominado ajuste de curva, processo mais complexo e que
levaria a um erro menor ainda.
Substituindo o valor de A, obtido em (1.81), em (1.85), encontraremos a = 38993 no lugar de 23400 e
repetindo para B, encontramos para D igual a 10 cm um coeficiente de correção das pontas b = 1,34312.
Desse modo, a equação (1.84) poderia ser escrita como (1.86).
a D2/Vb 38993 D2/Vb
Fb
L b D L 1, 34312 D
⋅ ⋅
= =
+ ⋅ + ⋅
(1.86)
AJUSTE DO DUTO
Método Empírico
Tabela 3
Valores Medidos Valores Calculados
L
Fb Fb Erro %
10,00 25,80 25,80 0
9,10 26,40 26,31 -0,34
8,0 27,00 26,98 -0,09
7,00 27,60 27,63 0,11
6,00 28,40 28,33 -0,24
5,00 29,10 29,09 -0,04
4,00 29,80 29,91 0,38
3,50 30,80 30,35 -1,46
2,50 31,20 31,29 0,29
2,00 31,80 31,79 -0,03
1,80 32,00 32,00 0
25 26 27 28 29 30 31 32
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ajuste do Duto − Método Empírico
Freqüência de Sintonia em Hz
Comprimento do Duto em cm
Aumentando a Precisão com Área Constante
Em caixas do tipo Band Pass, como a mostrada na figura ao lado, o acoplamento entre os dutos é
muito acentuado de modo que as freqüências de sintonia obtidas estão normalmente abaixo do desejado.
Isto significa que o comprimento do duto na
câmara 1 terá que ser diminuído.
Já o duto da câmara 2 deverá ter sua área
reduzida, uma vez que seu comprimento, sendo a própria
espessura da madeira, não poderia ser reduzido.
11 2
22 2 22
L K S K S
Fb
⋅
= − ⋅ (1.87)
11 1
2 22 1
1
L K S K S
Fb
⋅
= − ⋅ (1.88)
Obtenção de 22 K
11 2
22 2 22
L K S K S
Fb
⋅
+ ⋅ = (1.89)
11 1
22 1 2
1
L K S K S
Fb
⋅
+ ⋅ = (1.90)
11 2
2
22 2 2
22 1 11 1
2
1
K S
L K S Fb
L K S K S
Fb
⋅
+ ⋅
=
+ ⋅ ⋅
(1.91)
2
22 2 2 1
2
22 1 1 2
L K S S Fb
L K S S Fb
+ ⋅
= ⋅
+ ⋅
(1.92)
( ) 2
2 1
22 2 2 22 1
1 2
L K S S Fb L K S
S Fb
+ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅
(1.93)
2 2
2 1 2 1
22 2 2 22 2 1
1 2 1 2
L K S S Fb L K S Fb S
S Fb S Fb
+ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
(1.94)
Caixa Band Pass onde o forte acoplamento
entre os dutos aumenta o erro no cálculo.
2 2
2 1 2 1
22 2 22 2 1 2
1 2 1 2
K S K S Fb S S Fb L L
S Fb S Fb
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −
(1.95)
2
2 1
2
1 2
22 2
2 1
2 2 1
1 2
L S Fb 1
S Fb
K
S S Fb S
S Fb
⋅ ⋅ −
=
− ⋅ ⋅
(1.96)
Obtenção de 11 K
(1.97) 11 2
22 2 22
L K S K S
Fb
⋅
= − ⋅
11 1
2 22 1
1
L K S K S
Fb
⋅
= − ⋅
(1.98)
(1.99) 11 2
22 2 22
L K S K S
Fb
⋅
− = − ⋅
11 1
2 22 1
1
L K S K S
Fb
⋅
− = − ⋅
(1.100)
(1.101)
11 2
2
2 22 2
11 1 22 1
2
1
L K S
Fb K S
L K S K S
Fb
⋅
−
− ⋅
=
⋅ − ⋅ −
11 2
2
2 2
11 1 1
2
1
L K S
Fb S
L K S S
Fb
⋅
−
=
⋅
−
(1.102)
11 2 2 11 1
2 2
2 1 1
L K S S L K S
Fb S Fb
⋅ ⋅
− = ⋅ −
(1.103)
11 2 2 11 1 2
2 2
2 1 1 1
L K S SL K S S
Fb S Fb S
⋅ ⋅
− = ⋅ − ⋅ (1.104)
11 1 2 11 2 2
2 2
1 1 2 1
K S S K S S L L
Fb S Fb S
⋅ ⋅
⋅ − = ⋅ − (1.105)
1 2 2 2
11 2 2
1 1 2 1
KS S S S 1L
Fb S Fb S
⋅ ⋅ − = − ⋅
(1.106)
2
1
11
1 2 2
2 2
1 1 2
S 1 L
S
K
S S S
Fb S Fb
− ⋅
=
⋅ −
(1.107)
(1.108)
2
1
11
1 2 2
2 2
1 2
S 1 L
S
K
S S S
Fb Fb
− ⋅
=
⋅
−
2
2 1
2
1 2
22 2
2 1
2 2 1
1 2
L S Fb 1
S Fb
K
S S Fb S
S Fb
⋅ ⋅ −
=
− ⋅ ⋅
(1.109)
(1.110)
2
1
1
1 2 2
2 2
1 2
S 1
S
K
S S S
Fb Fb
−
=
⋅
−
2
2 1
2
1 2
2 2
2 1
2 2 1
1 2
S Fb 1
K S Fb
S S Fb S
S Fb
⋅ −
=
− ⋅ ⋅
(1.111)
(1.112) 11 1 K =L⋅K 22 2 K =L⋅K
(1.113)
(1.114) 11 2 22
L K S K S
Fb
= ⋅ − ⋅
1 2 2
L LK S LK S
Fb
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
(1.115)
(1.116) 1 2 2
1 K S K S
Fb
= ⋅ − ⋅
2 1 2
1 K S K S
Fb
+ ⋅ = ⋅
(1.117)
1
2
Fb K S
1 K S
⋅
=
+ ⋅
(1.118)
Desse modo, uma vez construído o protótipo da caixa, fazemos uma primeira medida, obtendo a
freqüência de sintonia b1 F correspondente à área 1 S . Em seguida, cortamos um pedaço do painel, para
aumentar a área do duto, que passará a ser 2 S . Medindo a nova freqüência de sintonia, b2 F calcularemos os
valores de 1 K e 2 K , através das equações (1.110) e (1.111). Substituindo esses valores na equação (1.118),
pode calcular, com precisão, o valor da freqüência de sintonia Fb conseguida através de uma dada área S.
Obtendo S em Função de Fb
Na prática, o mais comum é querermos obter o valor de S que produz o valor de Fb desejado, o que será
visto a seguir. Reescrevendo a equação (1.116), vem:
1 2 2
1 K S K S
Fb
− ⋅ = − ⋅ (1.119)
( ) 2
2
1 2 2
1 K S K S
Fb
− ⋅ = − ⋅
(1.120)
2
2
1 2 1 2 2
1 2K S K S K S
Fb Fb
− ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅
(1.121)
2
2 2
1 2 1 4 2
1 2K S K S K S
Fb Fb
− ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ (1.122)
2
2 2
1 4 1 2 2
K S 2K S K S 1 0
Fb Fb
⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + =
(1.123)
2
1 2 1 2
4 2 2
K S 2K K S 1 0
Fb Fb
⋅ ⋅ − + ⋅ + =
(1.124)
4 4
2 1 2
2 2 2 2
1 1
S Fb 2 K K S Fb 0
K Fb K
⋅ − ⋅ + ⋅ + =
(1.125)
(1.126)
4
1 2
2 2 2
1
b Fb 2 K K
K Fb
⋅ = − ⋅ +
4
2
1
c Fb
K
=
(1.127)
2 S b b c
2 2
= − ± −
(1.128)
Geralmente só interessa o resultado soma, pois no caso da diferença, a área S é muito pequena.
2 S b b c
2 2
= − + −
(1.129)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
5
10
15
20
25
30
Dois Dutos no Lugar de Um
Comprimento do Duto Unico de 10 cm
Comprimento do Duto Duplo
D = 10
D = 7,5
D = 5,0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
5
10
15
20
25
30
Dois Dutos no Lugar de Um
Comprimento do Duto Unico de 7,5 cm
Comprimento do Duto Duplo
D = 7,5
D = 5,0
D = 2,5
Área dos Dutos, para Vazão sem Perdas,
Em Função de Fb, Sd e do Deslocamento do Cone X
Com base na equação (1.130) que corrige a de Small (1.131), onde o Diâmetro do Duto D está em metros e
o Volume Deslocado VD =SD⋅X , em m3 , é igual ao produto da área efetiva do cone, D S , pelo
deslocamento do cone, X, segundo Mark Gander (5), foi obtida a equação (1.132), que dá o valor da área S
que vai garantir perdas mínimas.
(1.130) D D 20,3 V
Fb
≥ ⋅ D D≥ Fb⋅V (1.131)
2
D S 20, 3 S X
4 Fb
= ⋅ π ⋅ ⋅
⋅
(1.132)
20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
500
1000
1500
2000
FALANTE DE 18" Sd = 1194 cm2 − Área do Duto, em Função de Fb e do Deslocamento
Fb em Hz
Área do Duto em cm2
20 mm
15 mm
10 mm
5 mm
1 mm
20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
200
400
600
800
1000
1200
FALANTE DE 15" Sd = 814 cm2 − Área do Duto, em Função de Fb e do Deslocamento
Fb em Hz
Área do Duto em cm2
20 mm
15 mm
10 mm
5 mm
1 mm
20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
FALANTE DE 12" Sd = 495 cm2 − Área do Duto, em Função de Fb e do Deslocamento
Fb em Hz
Área do Duto em cm2
20 mm
15 mm
10 mm
5 mm
1 mm
20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
100
200
300
400
500
600
FALANTE DE 10" Sd = 363 cm2 − Área do Duto, em Função de Fb e do Deslocamento
Fb em Hz
Área do Duto em cm2
20 mm
15 mm
10 mm
5 mm
1 mm
20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
FALANTE DE 8" Sd = 250 cm2 − Área do Duto, em Função de Fb e do Deslocamento
Fb em Hz
Área do Duto em cm2
20 mm
15 mm
10 mm
5 mm
1 mm
10
20
20
Largura do Duto em cm
Altura e Largura do Duto em Função da Área
Altura do Duto em cm
Área do Duto em cm2
Área do Duto em cm2
30
30
40
40
50
50
60
60
70
70
80
80
90
90 100
1
100
2
200
3
300
4
400
5
500
6
600
7
700
8
800
9
900
10
1000
20
2000
30
3000
40
4000
50
5000
60
6000
70
7000
80
8000
90
9000
100
Bibliografia
1 - Comunicação Particular
G. L. Augspurger
Junho de 1991
2 - Refletor de Graves: Ajuste Fino do Duto
Homero Sette Silva
ANTENNA-ELETRÔNICA POPULAR, Vol. 102, N° 2 de Set-Out/91.
3 - Computer Assisted Vented Box Tuning
Homero Sette Silva
SPEAKER BUILDER, Vol. 14 N° 4, Jul/93.
4 - Caixa Acústica - Ajuste Fino do Refletor de Graves
Homero Sette Silva
MUSICA & TECNOLOGIA, N° 47 de Set/Out 1994.
5 - Análise e Síntese de Alto-Falantes e Caixas Acústicas Pelo Método de Thiele-Small
Homero Sette Silva
Editora H. Sheldon Serviços de Marketing, Julho de 1996.
6 - Dynamic Linearity and Power Compression in Moving-Coil Loudspeakers
Mark R. Gander
Apresentado na 76a Convenção da AES, em outubro de 1984.
7 - Manual do Software NXT – AkABak
Agradecimentos
O Autor agradece ao Consultor Santiago G. Papadópolis pelas figuras desenhadas e pelo tratamento gráfico
das figuras geradas pelo MatLab 6.5 .
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